Pattern generalization is considered one of the prominent routes for introducing students to algebra. However, not all generalizations are algebraic. In the use of pattern generalization as a route to algebra, we —teachers and educators— thus have to remain vigilant in order not to confound algebraic generalizations with other forms of dealing with the general. But how to distinguish between algebraic and non-algebraic generalizations? On epistemological and semiotic grounds, in this article I suggest a characterization of algebraic generalizations. This characterization helps to bring about a typology of algebraic and arithmetic generalizations. The typology is illustrated with classroom examples.

La generalización de patrones es considerada como una de las formas más importantes de introducir el algebra en la escuela. Sin embargo, no todas las generalizaciones de patrones son algebraicas. Como consecuencia, en el uso de patrones como recurso didáctico, se debe tener mucho cuidado en no confundir generalizaciones algebraicas con otras formas de generalización. Ahora bien, ¿cómo distinguir entre las unas y las otras? En este articulo, basado en ideas epistemológicas y semióticas, sugiero una caracterización de generalizaciones algebraicas. Dicha caracterización permite establecer una tipología, la cual es ilustrada a través de ejemplos concretos.

En este artículo se presentan los resultados de un proyecto de investigación sobre la comunicación entre familias y escuelas. El objetivo es conocer tanto los contenidos de matemáticas enseñados en la escuela, como establecer puentes de diálogo entre escuelas y familias, a fin de que los estudiantes acaben mejorando su rendimiento en matemáticas. Comenzamos con una contextualización. Luego, se presenta el estudio y la metodología utilizada. A continuación se discuten parte de los resultados obtenidos, que destacan el interés de la conexión entre las familias y los centros, especialmente en los institutos. Se concluye con aportaciones a la formación del profesorado de matemáticas.

This paper presents the results of a research project about the communication between families and schools. The objective is to identify the mathematical contents taught in current schools as well as to build dialogue bridges between schools and families, in order to improve children’s performance in mathematics. First we introduce the context of the study. Then, we present the study and the methodology. After that, we discuss part of the results obtained, which highlight the interest of the connection between families and schools, particularly at High School. We end with some contributions to teacher training in mathematics. 

Describimos el proceso seguido por estudiantes de 11 y 12 años para descubrir patrones de conteo en un problema básico de combinatoria. Hacemos énfasis en la transición de las estrategias manipulativas para el conteo directo a la generalización. En esta transición hubo estudiantes que utilizaron, de forma espontánea, diagramas de árbol; y otros estudiantes que recurrieron a estrategias comunes en pensamiento numérico. Resaltamos el interés de resolver problemas de combinatoria sin haber aprendido fórmulas previas para que los estudiantes den significado a la regla del producto y relacionamos los resultados obtenidos con aspectos didácticos de la multiplicación en educación primaria.

We describe the procedure used by 11-12 years old students to discover counting patterns in basic combinatory problems. We emphasize the transition from manipulative strategies for direct counting to generalization. In this transition, there were students who spontaneously used tree diagrams of mathematical ideas and some students used numerical thinking strategies. We highlight the interest of solving combinatory problems in order to let the students make sense of the multiplication rule. We relate the results to the teaching of multiplication in primary school.